कैसे काले जैसे मूल्यांकन मॉडल बनाने के लिए

मान्य विकल्प एक मुश्किल व्यवसाय हो सकता है। इस परिदृश्य पर विचार करें: जनवरी 2015 में, आईबीएम स्टॉक 155 डॉलर पर कारोबार कर रहा था और आपने अगले एक साल में इसके उच्च स्तर पर जाने की उम्मीद की थी। आप एक उच्च खरीद मूल्य के साथ स्टॉक खरीद की तुलना में, एक छोटे विकल्प लागत (विकल्प प्रीमियम) के आधार पर, उच्च प्रतिशत रिटर्न से लाभ की उम्मीद करते हुए $ 155 के एटीएम स्ट्राइक मूल्य के साथ आईबीएम स्टॉक पर एक कॉल विकल्प खरीदने का इरादा रखते हैं।

आईबीएम पर इस कॉल विकल्प का उचित मूल्य क्या होना चाहिए?

आज, कुछ अलग-अलग तैयार किए गए तरीके मूल्य विकल्पों के लिए उपलब्ध हैं - जिनमें ब्लैक-स्कोल्स मॉडल और द्विपद ट्री मॉडल शामिल हैं - जो त्वरित उत्तर प्रदान कर सकते हैं। लेकिन ऐसे मूल्यांकन मॉडल पर पहुंचने के लिए अंतर्निहित कारक और ड्राइविंग अवधारणाएं क्या हैं? क्या इन मॉडलों की अवधारणा के आधार पर कुछ समान तैयार किया जा सकता है?

यहां, हम बिल्डिंग ब्लॉक्स, अंतर्निहित अवधारणाओं और उन कारकों को कवर करते हैं, जिनका उपयोग फ्रेमवर्क के रूप में एक परिसंपत्ति के लिए एक वैल्यूएशन मॉडल बनाने के लिए किया जा सकता है जैसे विकल्प, ब्लैक-स्कल्स (बीएस) की उत्पत्ति की तुलना में साइड-बाय-साइड प्रदान करना) नमूना।

ब्लैक-स्कोल्स से पहले की दुनिया

ब्लैक-स्कोल्स से पहले, संतुलन आधारित कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल (CAPM) का व्यापक रूप से पालन किया गया था। निवेशक की वरीयता के आधार पर रिटर्न और जोखिम एक दूसरे के साथ संतुलित थे, यानी उच्च जोखिम लेने वाले निवेशक को एक समान अनुपात में उच्च रिटर्न के साथ (संभावित) मुआवजे की उम्मीद थी।

बीएस मॉडल सीएपीएम में अपनी जड़ें पाता है। फिशर ब्लैक के अनुसार: "मैंने वारंट के जीवन में हर संभव स्टॉक मूल्य और वारंट मूल्य के लिए कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल लागू किया।" दुर्भाग्य से, सीएपीएम वारंट (विकल्प) मूल्य निर्धारण की आवश्यकता को पूरा करने में असमर्थ था।

ब्लैक-स्कोल्स पहला मॉडल बना हुआ है, जो आर्बिट्राज की अवधारणा पर आधारित है, जिससे जोखिम-आधारित मॉडल (जैसे CAPM) से प्रतिमान बदलाव होता है। इस नए बीएस मॉडल के विकास ने सीएपीएम स्टॉक रिटर्न अवधारणा को इस तथ्य की मान्यता के साथ बदल दिया कि पूरी तरह से हेजेड स्थिति जोखिम-मुक्त दर अर्जित करेगी। इसने जोखिम और प्रतिफल विविधताओं को बाहर निकाल दिया, और मध्यस्थता की अवधारणा स्थापित की जिसमें जोखिम-तटस्थ अवधारणा की धारणाओं पर मूल्यांकन किया जाता है - एक बचाव (जोखिम-मुक्त) स्थिति में वापसी की जोखिम-मुक्त दर होनी चाहिए।

ब्लैक-स्कोल्स का विकास

आइए समस्या को स्थापित करने से शुरू करें, इसे मात्रा दें और इसके समाधान के लिए एक रूपरेखा विकसित करें। हम समाप्ति पर एक वर्ष के साथ 155 डॉलर के स्ट्राइक मूल्य के साथ आईबीएम पर एटीएम कॉल विकल्प के मूल्य निर्धारण पर अपने उदाहरण के साथ जारी रखते हैं।

कॉल विकल्प की मूल परिभाषा के आधार पर, जब तक कि शेयर की कीमत स्ट्राइक प्राइस के स्तर से नहीं टकराती है, तब तक भुगतान शून्य रहता है। उस स्तर पर पोस्ट करें, पेऑफ रैखिक रूप से बढ़ता है (यानी, अंतर्निहित में एक-डॉलर की वृद्धि कॉल विकल्प से एक-डॉलर का भुगतान प्रदान करेगी)।

यह मानते हुए कि खरीदार और विक्रेता उचित मूल्यांकन (शून्य मूल्य सहित) पर सहमत हैं, इस कॉल विकल्प के लिए सैद्धांतिक उचित मूल्य होगा:

• कॉल विकल्प कीमत = $ 0, यदि अंतर्निहित <हड़ताल (लाल ग्राफ) कॉल विकल्प मूल्य = (अंतर्निहित हड़ताल), यदि अंतर्निहित> = हड़ताल (नीला ग्राफ)

यह विकल्प के आंतरिक मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है और कॉल विकल्प खरीदार के दृष्टिकोण से बिल्कुल सही दिखता है। लाल क्षेत्र में, खरीदार और विक्रेता दोनों का उचित मूल्यांकन होता है (विक्रेता को शून्य मूल्य, खरीदार को शून्य भुगतान)। हालांकि, मूल्यांकन चुनौती नीले क्षेत्र से शुरू होती है, क्योंकि खरीदार को सकारात्मक भुगतान का फायदा होता है, जबकि विक्रेता को नुकसान होता है (बशर्ते कि अंतर्निहित कीमत स्ट्राइक प्राइस से ऊपर हो)। यह वह जगह है जहां खरीदार को शून्य मूल्य के साथ विक्रेता पर एक फायदा है। मूल्य निर्धारण विक्रेता को उस जोखिम के लिए गैर-शून्य होने की आवश्यकता है जो वह ले रहा है।

पूर्व मामले में (लाल ग्राफ), सैद्धांतिक रूप से, शून्य मूल्य विक्रेता द्वारा प्राप्त किया जाता है और खरीदार (दोनों के लिए उचित) के लिए शून्य भुगतान क्षमता है। उत्तरार्द्ध मामले (नीला ग्राफ) में, विक्रेता द्वारा खरीदार को अंतर्निहित और हड़ताल के बीच अंतर का भुगतान किया जाना है। विक्रेता का जोखिम पूरे वर्ष की अवधि में होता है। उदाहरण के लिए, अंतर्निहित स्टॉक की कीमत बहुत अधिक हो सकती है (चार महीनों के समय में $ 200 तक) और विक्रेता को खरीदार को $ 45 के अंतर का भुगतान करना आवश्यक है।

इस प्रकार, यह करने के लिए नीचे फोड़े:

1. क्या अंतर्निहित कीमत स्ट्राइक मूल्य को पार कर जाएगी? यदि ऐसा होता है, तो अंतर्निहित कीमत कितनी अधिक हो सकती है (जैसा कि खरीदार को भुगतान निर्धारित करेगा)?

यह विक्रेता द्वारा लिए गए बड़े जोखिम को इंगित करता है, जो इस सवाल की ओर जाता है कि - कोई व्यक्ति इस तरह के कॉल को क्यों बेचेगा, अगर वे जो जोखिम ले रहे हैं उसके लिए उन्हें कुछ भी नहीं मिलता है?

हमारा उद्देश्य एक ही कीमत पर पहुंचना है कि विक्रेता को खरीदार को चार्ज करना चाहिए, जो उसे उस कुल जोखिम की भरपाई कर सकता है जो वह एक साल का समय ले रहा है - शून्य भुगतान क्षेत्र (लाल) और रैखिक भुगतान क्षेत्र (नीला) दोनों में । कीमत खरीदार और विक्रेता दोनों के लिए उचित और स्वीकार्य होनी चाहिए। यदि नहीं, तो वह जो अनुचित मूल्य का भुगतान करने या प्राप्त करने के मामले में नुकसान में है, वह बाजार में भाग नहीं लेगा, जिससे व्यापारिक व्यवसाय का उद्देश्य समाप्त हो जाएगा। ब्लैक-स्कोल्स मॉडल का उद्देश्य स्टॉक की निरंतर मूल्य भिन्नता, पैसे का समय मूल्य, विकल्प की हड़ताल की कीमत और विकल्प की समाप्ति के समय को ध्यान में रखकर इस उचित मूल्य को स्थापित करना है। बीएस मॉडल के समान, आइए देखें कि हम अपने तरीकों का उपयोग करके अपने उदाहरण के लिए इसका मूल्यांकन कैसे कर सकते हैं।

नीले क्षेत्र में आंतरिक मूल्य का मूल्यांकन कैसे करें?

एक निश्चित समय सीमा के दौरान भविष्य में अपेक्षित मूल्य आंदोलन की भविष्यवाणी करने के लिए कुछ तरीके उपलब्ध हैं:

• हाल के दिनों में एक ही अवधि के समान मूल्य आंदोलनों का विश्लेषण कर सकता है। ऐतिहासिक आईबीएम समापन मूल्य इंगित करता है कि पिछले एक वर्ष (जनवरी 2, 2014 से 31 दिसंबर 2014) में, कीमत 185.53 डॉलर से घटकर $ 160.44 हो गई, जो 13.5% की गिरावट है। क्या हम आईबीएम के लिए -13.5% मूल्य की चाल समाप्त कर सकते हैं? एक और विस्तृत जाँच इंगित करती है कि यह $ 199.21 (10 अप्रैल, 2014 को) और सालाना 150.5 डॉलर (16 दिसंबर, 2014) के निम्न स्तर को छू गया था। शुरुआत के दिन, 2 जनवरी, 2014 और $ 185.53 के समापन मूल्य के आधार पर, प्रतिशत परिवर्तन + 7.37% से -18.88% तक भिन्न होता है। अब, 13.5% की पहले की गई गिरावट की तुलना में विविधता रेंज बहुत व्यापक है।

ऐतिहासिक डेटा पर समान विश्लेषण और अवलोकन किए जा सकते हैं। हमारे मूल्य निर्धारण मॉडल के विकास को जारी रखने के लिए, आइए, भविष्य की मूल्य विविधताओं को समझने के लिए इस सरल पद्धति को अपनाएं।

मान लें कि आईबीएम प्रत्येक वर्ष 10% बढ़ जाता है (पिछले 20 वर्षों के ऐतिहासिक डेटा के आधार पर)। बुनियादी आंकड़े बताते हैं कि आईबीएम स्टॉक मूल्य परिवर्तन की संभावना + 10% के आसपास मँडराते हुए आईबीएम मूल्य 20% बढ़ने या 30% घटने की संभावना की तुलना में बहुत अधिक होगी, यह मानते हुए कि ऐतिहासिक पैटर्न दोहराते हैं। संभाव्यता मूल्यों के साथ समान ऐतिहासिक डेटा बिंदुओं को एकत्रित करना, आईबीएम के स्टॉक मूल्य पर एक साल की समय सीमा में समग्र अपेक्षित रिटर्न की गणना संभावित संभावनाओं और संबंधित रिटर्न के भारित औसत के रूप में की जा सकती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि आईबीएम का ऐतिहासिक मूल्य डेटा निम्न चाल को इंगित करता है:

• (-10%) 25% समय में, + 10% 35% समय में, + 15% 20% समय में, + 20% 10% समय में, 5% समय में + 25% और (-15%) 5% बार में।

इसलिए, भारित औसत (या अपेक्षित मूल्य) निम्न पर आता है:

(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6.5%

यह कहना है, औसतन, आईबीएम स्टॉक की कीमत हर डॉलर के लिए एक साल के समय में + 6.5% लौटने की उम्मीद है। यदि कोई आईबीएम स्टॉक को एक साल के क्षितिज और $ 155 की खरीद मूल्य के साथ खरीदता है, तो कोई 155 * 6.5% = $ 10.075 के शुद्ध रिटर्न की उम्मीद कर सकता है।

हालांकि, यह स्टॉक रिटर्न के लिए है। हमें कॉल विकल्प के लिए समान प्रत्याशित प्रतिफल देखने की आवश्यकता है।

स्ट्राइक प्राइस (मौजूदा $ 155 - एटीएम कॉल) के नीचे कॉल के शून्य भुगतान के आधार पर, सभी नकारात्मक चालें शून्य भुगतान उत्पन्न करेंगी, जबकि स्ट्राइक मूल्य के ऊपर सभी सकारात्मक चालें समान भुगतान उत्पन्न करेंगी। इस प्रकार कॉल विकल्प के लिए अपेक्षित वापसी होगी:

(-0% * २५% + १०% * ३५% + १५% * २०% + २०% * १०% + २५% * ५% - ० % * ५%) / १००% = ९। % ५ %

यही है, इस विकल्प को खरीदने में निवेश किए गए प्रत्येक $ 100 के लिए, कोई $ 9.75 (उपरोक्त मान्यताओं के आधार पर) की उम्मीद कर सकता है।

हालांकि, यह अभी भी विकल्प की आंतरिक राशि के उचित मूल्यांकन तक ही सीमित है और उच्च स्विंग के लिए विकल्प विक्रेता द्वारा वहन किए गए जोखिम को सही ढंग से कैप्चर नहीं करता है जो अंतरिम में हो सकता है (उपर्युक्त अंतरंग उच्च और निम्न के मामले में) कीमतों)। आंतरिक मूल्य के अलावा, खरीदार और विक्रेता द्वारा किस कीमत पर सहमति व्यक्त की जा सकती है, ताकि विक्रेता को एक वर्ष की समय सीमा में उस जोखिम की भरपाई हो सके जो वह ले रहा है?

ये स्विंग व्यापक रूप से भिन्न हो सकते हैं और विक्रेता की अपनी व्याख्या हो सकती है कि वह इसके लिए कितना मुआवजा चाहता है। ब्लैक-स्कोल्स मॉडल यूरोपीय-प्रकार के विकल्पों को मानता है, अर्थात समाप्ति तिथि से पहले कोई व्यायाम नहीं। इस प्रकार, यह मध्यवर्ती मूल्य के झूलों से अप्रभावित रहता है और अंत-टू-एंड ट्रेडिंग दिनों पर इसके मूल्यांकन को आधार बनाता है।

वास्तविक दिन के कारोबार में, यह अस्थिरता विकल्प की कीमतें निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। नीला पेऑफ फ़ंक्शन जो हम आमतौर पर देखते हैं वह वास्तव में समाप्ति की तारीख में भुगतान है। वास्तविक रूप से, ऑप्शन प्राइस (गुलाबी ग्राफ) हमेशा पेऑफ (ब्लू ग्राफ) से अधिक होता है, जो विक्रेता द्वारा उसकी जोखिम लेने की क्षमताओं की भरपाई के लिए ली गई कीमत को दर्शाता है। यही कारण है कि विकल्प मूल्य को "प्रीमियम" विकल्प के रूप में भी जाना जाता है - संभावित रूप से जोखिम प्रीमियम को दर्शाता है।

यह हमारे मूल्यांकन मॉडल में शामिल किया जा सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि स्टॉक मूल्य में कितनी अस्थिरता की उम्मीद है और कितना अपेक्षित मूल्य होगा।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल इसे निम्नानुसार कुशलतापूर्वक (निश्चित रूप से, अपनी मान्यताओं के भीतर) करता है:

सी = एस × N (डी 1) -X × ई-RTN (डी 2)

बीएस मॉडल स्टॉक मूल्य आंदोलनों के तार्किक वितरण को मानता है, जो एन (डी 1) और एन (डी 2) के उपयोग को सही ठहराता है।

• पहले भाग में, एस स्टॉक की वर्तमान कीमत को इंगित करता है। एन (डी 1) स्टॉक के वर्तमान मूल्य आंदोलन की संभावना को इंगित करता है।

यदि यह विकल्प खरीदार को इस विकल्प का उपयोग करने की अनुमति देता है, तो उसे अंतर्निहित आईबीएम स्टॉक का एक हिस्सा मिलेगा। यदि व्यापारी आज इसका अभ्यास करता है, तो S * N (d1) विकल्प के वर्तमान दिन के अपेक्षित मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है।

दूसरे भाग में, X स्ट्राइक प्राइस को इंगित करता है।

• N (d2) स्ट्राइक प्राइस से ऊपर स्टॉक मूल्य की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है। X * N (d2) स्ट्राइक मूल्य से ऊपर स्टॉक मूल्य के अपेक्षित मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है।

जैसा कि ब्लैक-स्कोल्स मॉडल यूरोपीय-शैली के विकल्पों को मानता है जिसमें व्यायाम केवल अंत में संभव है, एक्स * एन (डी 2) द्वारा ऊपर दर्शाए गए अपेक्षित मूल्य को पैसे के समय के लिए छूट दी जानी चाहिए। इसलिए, अंतिम अवधि को समय अवधि में ब्याज की दर तक उठाए गए घातीय शब्द से गुणा किया जाता है।

दो शब्दों का शुद्ध अंतर आज के अनुसार विकल्प के मूल्य मूल्य को दर्शाता है (जिसमें दूसरा शब्द छूट गया है)

हमारे ढांचे में, ऐसे मूल्य चालों को कई तरीकों से अधिक सटीक रूप से शामिल किया जा सकता है:

• इंट्रा डे / इंट्रेयर प्राइस मूव्स को शामिल करने के लिए सीमित अंतराल तक सीमा का विस्तार करके अपेक्षित वापसी गणना को और अधिक परिष्कृत करना वर्तमान बाजार के आंकड़ों को शामिल करता है, क्योंकि यह वर्तमान-दिन की गतिविधि (निहित अस्थिरता के समान) को दर्शाता है, जो समाप्ति की तारीख पर रिटर्न देता है। यथार्थवादी वैल्यूएशन के लिए वर्तमान दिन पर वापस छूट दी जाए और वर्तमान मूल्य से और घटा दिया जाए

इस प्रकार, हम देखते हैं कि मात्रात्मक विश्लेषण के लिए चुनी जाने वाली मान्यताओं, पद्धतियों और अनुकूलन की कोई सीमा नहीं है। व्यापार की जाने वाली संपत्ति या विचार किए जाने वाले निवेश के आधार पर, एक स्व-विकसित मॉडल पर काम किया जा सकता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि विभिन्न परिसंपत्ति वर्गों के मूल्य आंदोलनों की अस्थिरता बहुत भिन्न होती है-इक्विटी में अस्थिरता तिरछी होती है, विदेशी मुद्रा में अस्थिरता होती है — और उपयोगकर्ताओं को अपने मॉडल में लागू अस्थिरता पैटर्न को शामिल करना चाहिए। मान्यताओं और कमियां किसी भी मॉडल का अभिन्न अंग हैं और वास्तविक विश्व व्यापार परिदृश्यों में मॉडल के जानकार आवेदन बेहतर परिणाम दे सकते हैं।

तल - रेखा

बाजारों में प्रवेश करने वाली जटिल परिसंपत्तियों या यहां तक ​​कि सादे वेनिला संपत्तियों में ट्रेडिंग के जटिल रूपों के साथ, मात्रात्मक मॉडलिंग और विश्लेषण मूल्यांकन के लिए अनिवार्य होता जा रहा है। दुर्भाग्य से, कोई गणितीय मॉडल कमियों और मान्यताओं के एक सेट के बिना नहीं आता है। सबसे अच्छा तरीका यह है कि मान्यताओं को न्यूनतम रखा जाए और निहित कमियों से अवगत कराया जाए, जो मॉडल के उपयोग और प्रयोज्यता पर रेखाएँ खींचने में सहायता कर सकती हैं।