मोंटे कार्लो सिमुलेशन के साथ होशियार शर्त

वित्त में, संभावित परिणामों की व्यापक विविधता के कारण आंकड़ों या राशियों के भविष्य के मूल्य का आकलन करने के लिए उचित मात्रा में अनिश्चितता और जोखिम शामिल है। मोंटे कार्लो सिमुलेशन (MCS) एक तकनीक है जो भविष्य के परिणामों का अनुमान लगाने में शामिल अनिश्चितता को कम करने में मदद करती है। एमसीएस को जटिल, गैर-रैखिक मॉडल पर लागू किया जा सकता है या इसका उपयोग अन्य मॉडलों की सटीकता और प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है। इसे जोखिम प्रबंधन, पोर्टफोलियो प्रबंधन, मूल्य निर्धारण डेरिवेटिव, रणनीतिक योजना, परियोजना योजना, लागत मॉडलिंग और अन्य क्षेत्रों में भी लागू किया जा सकता है।

परिभाषा

MCS एक तकनीक है जो एक मॉडल के इनपुट चर में अनिश्चितताओं को संभाव्यता वितरण में परिवर्तित करती है। डिस्ट्रीब्यूशन को जोड़कर और उनसे बेतरतीब ढंग से मूल्यों का चयन करके, यह नकली मॉडल को कई बार पुनर्गणित करता है और आउटपुट की संभावना को बाहर लाता है।

आधारभूत विशेषताएँ

MCS एक या अधिक आउटपुट की प्रायिकता वितरण बनाने के लिए एक ही समय में कई इनपुट का उपयोग करने की अनुमति देता है। डिफरेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन के विभिन्न प्रकार के मॉडल के इनपुट को सौंपा जा सकता है। जब वितरण अज्ञात होता है, तो जो सबसे अच्छा फिट का प्रतिनिधित्व करता है उसे चुना जा सकता है। यादृच्छिक संख्या का उपयोग एमसीएस को स्टोकेस्टिक विधि के रूप में दर्शाता है। यादृच्छिक संख्याओं को स्वतंत्र होना होगा; उनके बीच कोई सहसंबंध नहीं होना चाहिए। एमसीएस एक निश्चित मूल्य के बजाय एक सीमा के रूप में आउटपुट उत्पन्न करता है और दिखाता है कि सीमा में आउटपुट मूल्य होने की कितनी संभावना है।

एमसीएस में कुछ अक्सर इस्तेमाल की जाने वाली संभावना वितरण

सामान्य / गाऊसी वितरण - उन स्थितियों में निरंतर वितरण लागू किया जाता है जहां माध्य और मानक विचलन दिया जाता है और माध्य चर के सबसे संभावित मान का प्रतिनिधित्व करता है। यह माध्य के चारों ओर सममित है और बाध्य नहीं है।

तार्किक वितरण - माध्य और मानक विचलन द्वारा निर्दिष्ट निरंतर वितरण। यह शून्य से लेकर अनंत तक के एक चर के लिए उपयुक्त है, सकारात्मक तिरछापन के साथ और सामान्य रूप से वितरित प्राकृतिक लघुगणक के साथ।

त्रिकोणीय वितरण - निश्चित न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों के साथ निरंतर वितरण। यह न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों से घिरा हुआ है और या तो सममित (सबसे संभावित मूल्य = माध्य = माध्यिका) या विषम हो सकता है।

यूनिफॉर्म वितरण - ज्ञात न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों से घिरा निरंतर वितरण। त्रिकोणीय वितरण के विपरीत, न्यूनतम और अधिकतम के बीच मूल्यों की घटना की संभावना समान है।

घातांक वितरण - स्वतंत्र घटनाओं के बीच के समय का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाने वाला निरंतर वितरण, बशर्ते कि घटनाओं की दर ज्ञात हो।

MCS के पीछे गणित

विचार करें कि हमारे पास संभाव्यता आवृत्ति फ़ंक्शन P (x) (यदि X असतत है), या प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन f (x) (यदि X निरंतर है) के साथ एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन g (X) है। फिर हम क्रमशः असतत और निरंतर शब्दों में g (X) के अपेक्षित मान को परिभाषित कर सकते हैं:

$\begin{matrix} इ (जी (एक्स)) = Σ_{- \infty}^{+ \infty} जी (एक्स) पी (एक्स), \\ कहाँ पे पी (एक्स) > 0 तथा Σ_{- \infty}^{+ \infty} पी (एक्स) = 1 \\ इ (जी (एक्स)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} जी (एक्स) च (एक्स) घ एक्स, \\ कहाँ पे च (एक्स) > 0 तथा \int_{- \infty}^{+ \infty} च (एक्स) घ एक्स = 1 \\ अगला, कहा जाता है के यादृच्छिक चित्र बनाते हैं n एक्स ({एक्स}_{1}, \dots, {एक्स}_{n}) \\ ट्रायल रन या सिमुलेशन रन, गणना जी ({एक्स}_{1}), \dots, जी ({एक्स}_{n}) \end{matrix} {गठबंधन} शुरू और ई (छ (एक्स)) = \ राशि ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) पी (एक्स), \\ और \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ पाठ {जहाँ} P (x)> 0 \ text {और} sum ^ {+ \ infty} _ _ - \ infty} P (x) = 1 \\ & E (g (X)) = \ int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) f (x) , dx, \\ और \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ पाठ {जहाँ} f (x)> 0 \ text {और} int ^ {+ \ _ infty} _ {- \ infty} f (x) , dx = 1 \\ & \ text {अगला, $ $ $ $ x (x_1, \ ldots, x_n) $, को} कहा जाता है। \\ & \ text {परीक्षण चलता है या सिमुलेशन चलता है, $ g (x_1), \ ldots, g (x_n) $} \ & \ text {की गणना करें और नमूने के $ g (x) $ का अर्थ ढूंढें:} अंत {} गठबंधन$ E (g (X)) = - ∞∑ + x g (x) P (x), जहां P (x)> 0 और> and + (P (x) = 1E (g (X)) = =) ∞ + (g (x) f (x) dx, जहां f (x)> 0 और ∞ and ∫ + (f (x) dx = 1Next, x (X1)…, xn), थ्रेट्रियल रन या सिमुलेशन रन, गणना g (X1), …, g (xn)

$\begin{matrix} {जी}_{n}^{μ} (एक्स) = \frac{1}{n} Σ_{मैं = 1}^{n} जी ({एक्स}_{मैं}), जो अंतिम नकली का प्रतिनिधित्व करता है \\ का मूल्य इ (जी (एक्स)) । \\ इसलिये {जी}_{n}^{μ} (एक्स) = \frac{1}{n} Σ_{मैं = 1}^{n} जी (एक्स) मोंटे कार्लो होगा \\ का अनुमान लगाने वाला इ (जी (एक्स)) । \\ जैसा n \to \infty, {जी}_{n}^{μ} (एक्स) \to इ (जी (एक्स)), इस प्रकार अब हम सक्षम हैं \\ अनुमान के साथ चारों ओर फैलाव की गणना करें \\ का निष्पक्ष संस्करण {जी}_{n}^{μ} (एक्स) : \end{matrix} \ start {align} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (x_i), \ text {जो अंतिम सिम्युलेटेड} \ & text {का प्रतिनिधित्व करता है } E (g (X)) का मान। \\\\ & \ text {इसलिए} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (X) पाठ {मोंटे कार्लो} \ & \ पाठ {{ई (जी (एक्स)) का आकलनकर्ता} होगा। \\\\ और \ पाठ {जैसा} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) E से (g (X)), \ text {इस प्रकार अब हम} \ & \ text {सक्षम अनुमान के चारों ओर फैलाव की गणना} \ & {{{mu -n} के निष्पक्ष संस्करण के साथ कर रहे हैं। एक्स) text {:} \ और वार (छ ^ \ mu_n (एक्स)) = \ frac {1} {n-1} राशि ^ n_ {i = 1} (छ (x_i) जी ^ \ mu_n (x)) ^ 2. \ अंत {} गठबंधन$ Gnμ (x) = n1 i = 1 gn g (xi), जो E (g (X)) के अंतिम अनुकरण का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए gnμ (X) = n1 i = 1∑ g (X) E (g (X)) का मोंटे कार्लोस्टिमेटर होगा। n → ∞, gnμ (X) → E (g (X)), इस प्रकार अब हम अनुमानित साधनों के साथ फैलाव को बढ़ाने में सक्षम हैं। सूक्ति (एक्स) का निष्पक्ष संस्करण:

सरल उदाहरण

यूनिट की कीमत, यूनिट की बिक्री और परिवर्तनीय लागत में अनिश्चितता EBITD को कैसे प्रभावित करेगी?

कॉपीराइट इकाई बिक्री) - (परिवर्तनीय लागत + निश्चित लागत)

आइए हम इनपुट में अनिश्चितता की व्याख्या करते हैं - यूनिट मूल्य, यूनिट की बिक्री और परिवर्तनीय लागत - त्रिकोणीय वितरण का उपयोग करते हुए, तालिका से इनपुट के संबंधित न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों द्वारा निर्दिष्ट।

कॉपीराइट

संवेदनशीलता चार्ट

जब आउटपुट पर इनपुट के प्रभाव का विश्लेषण करने की बात आती है तो एक संवेदनशीलता चार्ट बहुत उपयोगी हो सकता है। यह क्या कहता है कि नकली ईबीआईटीडी में इकाई बिक्री का 62% हिस्सा है, 28.6% के लिए परिवर्तनीय लागत और 9.4% के लिए इकाई मूल्य है। यूनिट की बिक्री और EBITD के बीच और यूनिट की कीमत और EBITD के बीच संबंध सकारात्मक है या यूनिट की बिक्री या यूनिट की कीमत में वृद्धि से EBITD में वृद्धि होगी। दूसरी ओर परिवर्तनीय लागत और EBITD, नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं, और परिवर्तनशील लागतों को कम करके हम EBITD को बढ़ाएंगे।

कॉपीराइट

सावधान रहें कि एक संभाव्यता वितरण द्वारा एक इनपुट मान की अनिश्चितता को परिभाषित करना जो वास्तविक एक के अनुरूप नहीं है और इससे नमूना लेना गलत परिणाम देगा। इसके अलावा, यह धारणा कि इनपुट चर स्वतंत्र हैं, मान्य नहीं हो सकते हैं। भ्रामक परिणाम उन इनपुटों से आ सकते हैं जो परस्पर अनन्य हैं या यदि दो या अधिक इनपुट वितरणों के बीच महत्वपूर्ण सहसंबंध पाया जाता है।

तल - रेखा

MCS तकनीक सीधी और लचीली है। यह अनिश्चितता और जोखिम को मिटा नहीं सकता है, लेकिन यह एक मॉडल के इनपुट और आउटपुट के लिए संभाव्य विशेषताओं को बताकर उन्हें समझना आसान बना सकता है। यह विभिन्न जोखिमों और कारकों को निर्धारित करने के लिए बहुत उपयोगी हो सकता है जो पूर्वानुमानित चर को प्रभावित करते हैं और इसलिए, यह अधिक सटीक भविष्यवाणियां कर सकता है। यह भी ध्यान दें कि परीक्षणों की संख्या बहुत कम नहीं होनी चाहिए, क्योंकि यह मॉडल को अनुकरण करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकता है, जिससे मानों की क्लस्टरिंग हो सकती है।

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