निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज

चक्रवृद्धि ब्याज प्रारंभिक मूलधन पर और एक जमा या ऋण की पिछली अवधि के संचित ब्याज पर गणना की जाती है। चक्रवृद्धि ब्याज का प्रभाव आवृत्ति पर निर्भर करता है।

12% की वार्षिक ब्याज दर मान लें। यदि हम वर्ष की शुरुआत $ 100 से करते हैं और केवल एक बार यौगिक करते हैं, तो वर्ष के अंत में, मूल $ 112 ($ 100 x 1.12 = $ 112) तक बढ़ जाता है। यदि हम इसके बजाय हर महीने 1% पर कंपाउंड करते हैं , तो हम साल के अंत में $ 112 से अधिक के साथ समाप्त हो जाते हैं। यही है, $ 100 x 1.01 ^ 12 $ 112.68 पर। (यह अधिक है क्योंकि हमने अधिक बार कंपाउंड किया है।)

लगातार मिश्रित रिटर्न सभी के सबसे अधिक बार मिश्रित होता है। निरंतर चक्रवृद्धि वह गणितीय सीमा है जो चक्रवृद्धि ब्याज तक पहुँच सकती है। यह चक्रवृद्धि का एक चरम मामला है क्योंकि अधिकांश ब्याज मासिक, त्रैमासिक या अर्धवार्षिक आधार पर संयोजित होते हैं।

रिटर्न की सेमियनुअल दरें

सबसे पहले, चलो एक संभावित भ्रमित सम्मेलन पर एक नज़र डालें। बॉन्ड मार्केट में, हम एक बॉन्ड-समतुल्य उपज (या बॉन्ड-समतुल्य आधार) का उल्लेख करते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि कोई बांड अर्ध-आधार पर 6% उपज देता है, तो इसकी बांड-समतुल्य उपज 12% है।

जूली बैंग द्वारा इमेज © इन्वेस्टोपेडिया 2019

सेमियनुअल उपज केवल दोगुनी है। यह संभावित रूप से भ्रामक है क्योंकि 12% बॉन्ड-समतुल्य उपज बॉन्ड की प्रभावी उपज 12.36% है (यानी, 1.06 ^ 2 = 1.1236)। सेमिअनुअल उपज को दोगुना करना एक बंधन नामकरण सम्मेलन है। इसलिए, यदि हम एक 8% बॉन्ड के बारे में पढ़ते हैं, तो हमें लगता है कि यह एक 4% सेमिनुअल उपज है।

तिमाही, मासिक और दैनिक रिटर्न की दरें

अब, उच्च आवृत्तियों पर चर्चा करते हैं। हम अभी भी 12% वार्षिक बाजार ब्याज दर मान रहे हैं। बांड नामकरण सम्मेलनों के तहत, यह एक 6% अर्धवार्षिक यौगिक दर का अर्थ है। अब हम बाजार की ब्याज दर के कार्य के रूप में त्रैमासिक यौगिक दर को व्यक्त कर सकते हैं।

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वार्षिक बाजार दर ( r) को देखते हुए , त्रैमासिक चक्रवृद्धि दर ( r _q) निम्न द्वारा दी गई है:

RQ = 4

इसलिए, हमारे उदाहरण के लिए, जहां वार्षिक बाजार दर 12% है, तिमाही चक्रवृद्धि दर 11.825% है:

RQ = 4≅11.825%

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मासिक कंपाउंडिंग पर एक समान तर्क लागू होता है। मासिक चक्रवृद्धि दर ( r _m ) यहाँ वार्षिक बाजार ब्याज दर ( r) के कार्य के रूप में दी गई है :

बाजार की ब्याज दर ( आर) के कार्य के रूप में दैनिक चक्रवृद्धि दर ( डी) द्वारा दी गई है:

rd = 360 = 360≅11.66%

कैसे सतत यौगिक काम करता है

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यदि हम इसकी सीमा के लिए यौगिक आवृत्ति बढ़ाते हैं, तो हम लगातार यौगिक कर रहे हैं। हालांकि यह व्यावहारिक नहीं हो सकता है, निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज दर अद्भुत रूप से सुविधाजनक गुण प्रदान करती है। यह पता चला है कि निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज दर निम्न द्वारा दी गई है:

$\begin{array}{cc}& {\mathrm{आर}}_{\mathrm{सी}ओn\mathrm{टी}\mathrm{मैं}n\mathrm{यू}ओ\mathrm{यू}\mathrm{रों}}=\ln (1+\mathrm{आर})\end{array}$ rcontinuous = ln (1 + r)

Ln () प्राकृतिक लॉग है और हमारे उदाहरण में, निरंतर मिश्रित दर इसलिए है:

rcontinuous = ln (1 + 0.12) = ln (1.12) ≅11.33%

हम इस अनुपात के प्राकृतिक लॉग को ले कर एक ही जगह पर आते हैं: प्रारंभिक मूल्य जो शुरुआती मूल्य से विभाजित होता है।

rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100, 112) ≅11.33%

स्टॉक के लिए निरंतर कंपाउंडेड रिटर्न की गणना करते समय उत्तरार्द्ध सामान्य है। उदाहरण के लिए, यदि स्टॉक अगले दिन $ 10 एक दिन से $ 11 तक उछलता है, तो निरंतर चक्रवृद्धि दैनिक रिटर्न द्वारा दिया जाता है:

rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln ($ 10 $ 11) ≅9.53%

निरंतर चक्रवृद्धि दर (या वापसी) के बारे में क्या इतना अच्छा है कि हम आर _{सी के} साथ निरूपित करेंगे? सबसे पहले, इसे आगे बढ़ाना आसान है। (पी) के एक प्रिंसिपल को देखते हुए, हमारे अंतिम धन से अधिक (एन) वर्षों द्वारा दिया गया है:

w = Perc n

ध्यान दें कि ई घातीय कार्य है। उदाहरण के लिए, यदि हम $ 100 से शुरू करते हैं और तीन वर्षों में 8% पर लगातार चक्रवृद्धि करते हैं, तो अंतिम धनराशि निम्न द्वारा दी जाती है:

$\begin{array}{cc}& w=\$100{इ}^{\left(0।08\right)\left(3\right)}=\$127।12\end{array}$ डब्ल्यू = $ 100e (0, 08) (3) = $ 127.12

वर्तमान मूल्य (पीवी) के लिए छूट केवल रिवर्स में कंपाउंडिंग है , इसलिए भविष्य के मूल्य (एफ) के वर्तमान मूल्य को ( आर _सी) की दर से लगातार मिश्रित किया जाता है:

$\begin{array}{cc}& \text{F का PV (n) वर्षों में प्राप्त हुआ}=\frac{\mathrm{एफ}}{{इ}^{{\mathrm{आर}}_{\mathrm{सी}}n}}=\mathrm{एफ}{इ}^{-{\mathrm{आर}}_{\mathrm{सी}}n}\end{array}$ F का PV (n) वर्ष = erc nF = Fe c rc n में प्राप्त हुआ

उदाहरण के लिए, यदि आप 6% निरंतर दर के तहत तीन वर्षों में $ 100 प्राप्त करने जा रहे हैं, तो इसका वर्तमान मूल्य निम्न है:

PV = Fe-rc एन = ($ 100) ई (0, 06) (3) = $ 100e-0.18≅ $ 83.53

एकाधिक अवधि में स्केलिंग

लगातार चक्रवृद्धि रिटर्न की सुविधाजनक संपत्ति यह है कि यह कई अवधि से अधिक समय तक चलता है। यदि पहली अवधि के लिए रिटर्न 4% है और दूसरी अवधि के लिए रिटर्न 3% है, तो दो-अवधि का रिटर्न 7% है। विचार करें कि हम वर्ष की शुरुआत $ 100 से करते हैं, जो पहले वर्ष के अंत में बढ़कर $ 120 हो जाती है, फिर दूसरे वर्ष के अंत में $ 150 हो जाती है। लगातार मिश्रित रिटर्न क्रमशः 18.23% और 22.31% है।

ln (100, 120) ≅18.23%

ln (120, 150) ≅22.31%

यदि हम इन्हें एक साथ जोड़ते हैं, तो हमें 40.55% मिलता है। यह दो-अवधि का रिटर्न है:

ln (100, 150) ≅40.55%

तकनीकी रूप से, निरंतर वापसी समय के अनुरूप है। समय की स्थिरता जोखिम (VAR) के मूल्य के लिए एक तकनीकी आवश्यकता है। इसका मतलब यह है कि यदि एकल-अवधि रिटर्न सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर है, तो हम चाहते हैं कि कई-अवधि के यादृच्छिक चर सामान्य रूप से भी वितरित किए जाएं। इसके अलावा, कई-अवधि लगातार कंपाउंडेड रिटर्न सामान्य रूप से वितरित किया जाता है (इसके विपरीत, कहते हैं, एक साधारण प्रतिशत रिटर्न)।

तल - रेखा

हम अर्धवार्षिक, त्रैमासिक, मासिक या दैनिक ब्याज दरों (या वापसी की दरों) में वार्षिक ब्याज दरों में सुधार कर सकते हैं। सबसे लगातार कंपाउंडिंग निरंतर कंपाउंडिंग है, जिसके लिए हमें एक प्राकृतिक लॉग और एक घातीय फ़ंक्शन का उपयोग करना पड़ता है, जो आमतौर पर वित्त में इसके वांछनीय गुणों के कारण उपयोग किया जाता है - यह कई अवधियों में आसानी से तराजू है और यह समय के अनुरूप है।